ILS Einsendeaufgabe MatA4

1. Gegeben ist die Funktion
a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar im Ursprung berühren.
b) Untersuchen Sie die Funktionsschar fk allgemein nach dem zuvor angegebenen
Schema und skizzieren Sie die Funktionen der Schar für k = 1 und k = 2
gemeinsam in einem Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte
beschreibt.
d) Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte
beschreibt.
e) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 2 eine Nullstelle?
f) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Tiefpunkt?
g) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Wendepunkt?
2. a) Bestimmen Sie den Parameter
b) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades
c) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung
3. Ein Unternehmen möchte einen kleineren, noch leistungsstärkeren mp3-Player herstellen. Die Unternehmensführung berät über den Produktionsumfang und den zu
erwartenden Gewinn und legt in der Diskussion über die Zusammenhänge mathematische Modelle zugrunde.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie die Erlösfunktion E an und bestimmen Sie einen maximalen, ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich der Funktion E.
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die angegebene Kostenfunktion keine Extremwerte besitzt und begründen Sie aus ökonomischer Sicht, warum das der Erfahrung aus der Praxis spricht.
c) Bestimmen Sie die Kostenkehre der Kostenfunktion, also den Wendepunkt der Kostenfunktion und erklären Sie seine ökonomische Bedeutung.
d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G und berechnen Sie die Produktionsmenge x, bei der der Gewinn maximal wird.
e) Zeichnen Sie die Preisfunktion p, die Erlösfunktion E, die Kostenfunktion K und die Gewinnfunktion G in ein Koordinatensystem und erklären Sie graphisch, wo der Gewinn maximal wird. Bestätigt sich Ihr rechnerischer Wert aus der Teilaufgabe d) ?