ILS MatA 4 / 1018 K06 Note 0,70

1. Gegeben ist die Funktion fk : x  x4 –kx2 mit x  und k > 0
a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar im Ursprung berühren.
b) Untersuchen Sie die Funktionsschar fk allgemein nach dem zuvor angegebenen
Schema und skizzieren Sie die Funktionen der Schar für k = 1 und k = 2
gemeinsam in einem Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte
beschreibt.
d) Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte
beschreibt.
e) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 2 eine Nullstelle?
f) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Tiefpunkt?
g) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Wendepunkt?
2. a) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass die Funktion fk (x) = x2 + k x an der
Stelle 4 einen einen relativen Tiefpunkt hat. Kann man auch ein k finden, so
dass fk an der Stelle 4 einen relativen Hochpunkt hat?
b) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches die x-Achse bei 3 und die
y-Achse bei – 6 schneidet und bei x = 1 und x = – 1 Extremstellen hat?
c) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung
geht und im Punkt (2|4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden
y = – 6 x + 2 ist.
usw. ...