MAC02 - Note 1.0 - SGD

1. Aufgabe:
Heißer Tee von einer Anfangstemperatur von 80 °C wird in einer Thermoskanne bei einer Außentemperatur von 0 °C aufbewahrt. Pro Stunde nimmt die Temperatur um 13 % ab.
a) Geben Sie eine Funktion T an, die die Temperatur des Tees (in °C) nach der Zeit t (in Stunden) beschreibt.

b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion von Teil a) im Bereich 0 <= t <= 10 Stunden.

c) Bestimmen Sie rechnerisch die Halbwertszeit der Funktion T(t), also die Zeit, in welcher sich die Temperatur halbiert.

d) Berechnen Sie die Zeit t, die es dauert, bis die Temperatur des Tees nur noch 30 °C beträgt.

2. Aufgabe:
Gegeben sind die Funktionen f : x = 0,5 · 2^x und g:x = .... mit x € R.
a) Durch welche geometrischen Operationen (Dehnungen, Verschiebungen oder Spiegelungen) gehen die Graphen von f und g aus dem Graphen der Exponentialfunktion zur Basis 2 hervor?

b) Bestimmen Sie die Funktionsterme f –1(x) und g–1(x) der Umkehrfunktionen und geben Sie die Funktionen f –1 und g–1 mit ihrem Definitionsbereich an.

c) Stellen Sie die Graphen von f und ihrer Umkehrfunktion f –1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

d) Stellen Sie die Graphen von g und ihrer Umkehrfunktion g–1 in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

3. Aufgabe:
Die Abb. A.1 zeigt zwei Funktionen f : t = f(t) und g : t = g(t) mit t $ 0, die jeweils einen Schwingungsvorgang darstellen. Dabei wird der Zeit t (in Sekunden) die Auslenkung s (in Zentimetern) zugeordnet. Der Graph der Funktion f ist durch Dehnungen aus dem Graph der Sinusfunktion entstanden.

a) Entnehmen Sie der Zeichnung die Amplitude a und die Periodendauer T der Funktion f und geben Sie den Funktionsterm f(t) an.

b) Welche Phasenverschiebung u zeigt der Graph der Funktion g im Vergleich zum Graphen von f ?
Stellen Sie damit den Funktionsterm g(t) auf.


4. Aufgabe:
Es sei die Funktion f :x = sin(3x) – sin(x), x € R gegeben (x im Bogenmaß).
a) Zeigen Sie, dass die Funktion f periodisch ist mit der Periode 2π, das heißt, es gilt f(x) = f(x  2π) für alle x € R.

b) Zeigen Sie, dass der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

c) Zeigen Sie, dass die Funktion f gleichwertig in der Form f(x) = 2 · sin(x) · cos(2x) dargestellt werden kann.

d) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion f.
Anleitung: Verwenden Sie die Darstellung von c).

e) Zeigen Sie, dass die Funktion f ihre höchsten Werte (Maxima) an den Stellen x = ...
mit z € Z erreicht.