MAC04 ✶ Note 1,0 ✶ Mathematik SGD ILS

Bei der Lösung der Einsendeaufgaben sollte eine Bearbeitungszeit von 120 Minuten im Grundkurs und 180 Minuten im Leistungskurs nicht überschritten werden.
1. Aufgabe:
Hilfsmittelfreie Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit
1.1: Geben Sie den Definitionsbereich D an.
1.2: Berechnen Sie die Nullstelle von f.
1.3: Zeigen Sie rechnerisch, dass eine Tangente an den Graphen von f im Punkt (0/f(0)) ist.
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
2. Aufgabe:
Hilfsmittelfreie Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f mit
2.1: ((Verweis-Label)) zeigt den Graphen einer Funktion f.
Begründen Sie ohne Rechnung, dass keine der beiden Funktionsterme die abgebildete Funktion beschreiben kann.


Abb. A.1:
2.2: Berechnen Sie den Wert des Integrals
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
3. Aufgabe:
Hilfsmittelfreie Aufgabe
In der Abb. A.2 wird der Graph der Funktion f1 schrittweise durch eine Streckung, Spiegelung bzw. Verschiebung in den Graphen der Funktion f5 überführt. Geben Sie die Funktionsgleichungen zu den Graphen von f2 , f3 und f4 an.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Abb. A.2:
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
4. Aufgabe:
Hilfsmittelfreie Aufgabe
4.1: Gegeben sei die Funktion f mit
Berechnen Sie die erste Ableitung f9(x) und deren Wert an der Stelle x  0.
4.2: Skizzieren Sie in Abb. A.3 den Graphen einer Funktion g, die die folgenden Bedingungen erfüllt:


Abb. A.3:
[. . .]
<Pkt.>/5 Pkt.
5. Aufgabe:
Medikamenteneinnahme
Aufgabe in Anlehnung an MAKOS, TU-Darmstadt, Handreichungen für die Oberstufe Mathematik Hessen

Abb. A.4:
Die Firma Pharmacia bietet ein Kopfschmerzmittel „Kopf klar“ an. Die Wirkung (in Prozent) kann in Abhängigkeit von der Dosismenge a (in mg) und der Zeit t (in min) durch die folgende Funktionenschar beschrieben werden. t  0 sei der Zeitpunkt der Einnahme.
(Bemerkung: „Wirkung in Prozent“ meint den prozentualen Anteil an der maximal möglichen Wirkung.)
Die Graphen in Abb. A.4 zeigen den Verlauf der Wirkung für die Dosismengen a  110 und a  160.
5.1: Ordnen Sie den beiden Graphen jeweils den richtigen Parameter begründet zu und beschreiben Sie anhand der Abbildung für beide Dosierungen den unterschiedlichen Verlauf der Wirkung in Worten.
5.2: Berechnen Sie, wie hoch die prozentuale Wirkung des Medikaments nach 3 Stunden für a  110 und a  160 ist.
5.3: Bestimmen Sie die Zeitspanne, in der das Medikament mit der Dosierungsmenge a  160 eine Wirkung von mehr als 80 % hat.
5.4: Berechnen Sie die erste Ableitung von fa(x).
(Kontrolle: )
Berechnen Sie die Lage der Hochpunkte der Funktionenschar und erläutern Sie die Bedeutung eines Hochpunktes im Sachkontext.
5.5: Berechnen Sie den Zeitpunkt der maximalen Wirkungsabnahme. Ergänzen Sie zunächst die Berechnung der zweiten Ableitung [. . .]
Wie hoch ist zu diesem Zeitpunkt die Wirkung des Medikaments?
Pharmacia hat festgestellt, dass das Integral der Funktion auf einem Intervall ein Maß für die Belastung des Körpers durch das Präparat innerhalb des Zeitraums ist.
5.6: Zeigen Sie, dass eine Stammfunktion zu ist.
5.7: Berechnen Sie die mittlere Wirkung innerhalb von 10 Stunden bei einer einmaligen Einnahme von einer Tablette mit der Dosierung a100.
5.8: Berechnen Sie mit dem Formansatz eine Stammfunktion zu fa(t) ist. Geben Sie den Wert für die Belastung durch das Medikament an, die sich innerhalb der ersten sechs Stunden nach der Einnahme bei der Dosierungen a = 80 ergibt. Beschreiben Sie, wie Sie den Wert in einer Abbildung veranschaulichen können.
(Kontrolle: )
5.9: Man weiß, dass ab einer Wirkung von 75 % die Nebenwirkungen zu stark sind. Welche maximale Dosis darf damit nur verschrieben werden?
<Pkt.>/44 Pkt.
6. Aufgabe:
Flächenberechnung
Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit
6.1: Berechnen Sie die Schnittpunkt beider Funktionen.
Tipp: Raten Sie einen der Schnittpunkte und führen Sie eine Polynomdivision durch.
(Kontrolle: )
6.2: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen f und g.
[. . .]
<Pkt.>/14 Pkt.
7. Aufgabe:
Kurvendiskussion und Integral
Gegeben sei die Funktion f mit
7.1: Berechnen Sie die Nullstellen, die Lage und die Art der möglichen Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte.
7.2: Stellen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall [–6;1] dar.
7.3: Berechnen Sie mithilfe des Formansatzes das Intergral