1. Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = x2 und g(x) = ax3; a Î [1; 2].
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.
b) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen beider Funktionen zwischen den Schnittpunkten.
c) Berechnen Sie die Werte von a, für die die Fläche aus Teil b) extremal wird.
/5 Pkt.
2. Aufgabe:
a) Lösen Sie das LGS:
x + y + z = 5
z + y = 6
z = 4.
b) Begründen Sie, welches der beiden Gleichungssysteme unterbestimmt ist.
A: x + y + z = 1 B: x + y + z = 1
2x + y = 2 2x + y = 2
-3x - 3y - 3z = -3 -x + y - z = 2.
/5 Pkt.
3. Aufgabe:
a) Begründen Sie, ob das Tupel (1, 2, 1) die Gleichung 2x - 3y - 5z = 3 erfüllt.
b) Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Punkt auf der Geraden mit der Gleichung liegt.
/5 Pkt.
4. Aufgabe:
Ein lineares Gleichungssystem in einem Mathematikbuch besteht aus zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a und b. Als Lösung wird angegeben a = r und b = 3r. Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.
/5 Pkt.
Bei den Aufgaben 5 bis 8 sind nun wieder Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt.
5. Aufgabe:
Berechnen Sie die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme.
A: und B: .
/10 Pkt.
6. Aufgabe:
Stellen Sie die Gerade mit der Gleichung in Abb. A.1 grafisch dar.
Abb. A.1:
/10 Pkt.
7. Aufgabe:
(Aufgabe, angeregt durch MAKOS, TU-Darmstadt, Handreichungen für die Oberstufe Mathematik, Hessen).
Diese Aufgabe, die so ähnlich im Abitur gestellt werden könnte, macht etwa 25 % der Prüfungsleistung aus.
Ein Monstertruck führt einen Sprung über eine Rampe vor. Seine Flugbahn ist bekanntermaßen eine Parabel mit der Gleichung f(x) = ax2 + bx + c. Die Abb. A.2 verdeutlicht grafisch die Verhältnisse.
Abb. A.2:
a) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem. Es liefert die Koeffizienten eines Sprungs des Monstertrucks. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mithilfe Ihres Taschenrechners.
a + b + c = 1,5
121a + 11b + c = 1,5
2a + b = 0,2.
b) Erläutern Sie, welche Eigenschaften des Graphen in der jeweiligen Gleichung beschrieben wird und beschreiben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
c) Für eine „sanfte“ Landung des Trucks ist es wichtig, dass die Rampe die richtige Steigung besitzt. Begründen Sie, dass die Gleichung 22a + b = -0,2 dies sicher stellt.
Für verschiedene Vorführungen sollen nun Höhe und Steigung der Rampe verändert werden. Das folgende LGS (Gleichungen 1 bis 4) beschreibt die neue Situation.
1: a + b + c = 1,5
2: 121a + 11b + c = w-1,5
3: 2a + b = 0,2
4: 22a + b = s
Die Gleichungen 5 bis 8 geben eine Lösung für den Zusammenhang von w und s an.
® 5: 120a + 10b = w-1,5
® 6: 20a = s - 0,2
® 7: 100a = w - 1,5 - 2 = w - 3,5
® 8: 0 = 5s - 1 - w + 3,5 = 5s - w + 2,5.
d) Erklären Sie die Aussagen der Gleichungen 1 bis 4 in dem Zusammenhang. Gehen Sie dabei besonders auf die Bedeutung der Größen w und s ein.
e) Beschreiben Sie die Entstehung der Gleichungen 5 bis 8.
f) Deuten Sie die Aussage der Gleichung 8 in diesem Zusammenhang.
g) Geben Sie zwei mögliche Werte für die Höhe und die Steigung der Rampe an.
h) Geben Sie den zulässigen Wertebereich für w und s an.
/30 Pkt.
8. Aufgabe:
Abb. A.3: Foto: Heinz-Jürgen Krell
Abb. A.4: Foto: Heinz-Jürgen Krell
Grüne Meeresschildkröten sind gefährdete Tiere. Bis sich aus dem Jungtier (Abb. A.3) eine geschlechtsreife Schildkröte (Abb. A.4) entwickelt hat, vergehen etwa 15 Jahre. In dieser Zeit lauern viele Gefahren. Raubvögel, Fischernetze, Müll und früher auch der Mensch. Hat eine Schildkröte die Geschlechtsreife erreicht und allen Gefahren getrotzt, dann kehrt sich an den Ort ihrer Geburt zurück und legt etwa 100 Eier.
Von den aus den Eiern geschlüpften Jungtieren leben nach einem Jahr noch 5 %. Von den Jungtieren überleben das Jahr 85 %. 0,05 % der Jungtiere werden im Lauf des Jahres etwa geschlechtsreif und geschlechtsreife Schildkröten überleben zu 90 %.
Eine Population auf den Malediven bestehe aus 50 000 Eiern, 500 geschlechtsreifen Weibchen und 20 000 Jungtieren.
a) Erstellen Sie einen Übergangsgraphen und geben Sie an, welche Informationen dieser enthält.
b) Geben Sie die Matrix M der jährlichen Entwicklung der Population an.
c) Geben Sie den Entwicklungsstand der Population nach einem Jahr und nach zwei Jahren wieder.
d) Zeigen Sie, dass es bei dieser Matrix M keinen Bestand geben kann, der sich reproduziert.
/20 Pkt.
9. Aufgabe:
Paul ist ein eigenartiger Mensch. Er trinkt jeden Abend entweder zwei Flaschen Bier oder zwei Gläser Rotwein. Wenn er heute Wein trinkt, dann trinkt er mit der Wahrscheinlichkeit a morgen wieder Wein. Trinkt er heute Bier, dann trinkt er mit der Wahrscheinlichkeit b morgen Wein.
a) Geben Sie Übergangsmatrix M für das Trinkverhalten von Paul an.
b) Berechnen Sie den Grenzvektor , dem sich Pauls Trinkverhalten auf lange Zeit gesehen nähert. p ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul heute Abend Wein, und q, dass er heute Abend Bier trinkt.
c) Angenommen es sei a = 0,6 und b = 0,3. Welchen wöchentlichen Vorrat an Wein und Bier sollte sich Paul langfristig anlegen?
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