MatA 3 / 0317 K09 - 2020/21 - Note 2,3 mit Korrektur

(Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
Geben Sie für die wahren Aussagen eine kurze Begründung und für die falschen
ein Gegenbeispiel an.
(I) Eine differenzierbare Funktion f mit Df = kann nur dann eine Extremstelle
an der Stelle xe besitzen, wenn dort f ' (xe) = 0 ist.
(II) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hinreichend dafür, dass xe
keine relative Extremstelle von f ist, ist f ' (xe)  0.
(III) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . f ' (xe) = 0 und f '' (xe)<0
sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für einen relativen Tiefpunkt.
(IV) Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren dieses Intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer Stelle xe  [a ; b] ein
absolutes Maximum hat, liegt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente
vor.
(V) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hat f an der Stelle xe einen
Wendepunkt mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an
der Stelle xe ein Sattelpunkt vor.