MatA 5/0211 N

1. a) Bestimmen sie die maximale Definitionsmenge der Funktionen f und g.
Geben Sie die Art der Definitionslücken an, ob es sich um Polstellen oder um hebbare Definitionslücken handelt.

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b) Untersuchen Sie, ob bei den Funktionen f und g Asymptoten vorhanden sind und geben Sie gegebenenfalls die Geradengleichungen der Asymptoten an.

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c) Bestimmen Sie die Extrempunkte der Funktionen f und g mit Hilfe des hinreichenden Kriteriums der zweiten Ableitung.

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2. a) Ein Auto verliert im Laufe eines Jahres 12 % an Wert. 
Wann ist das Auto nur noch ein Viertel seines Kaufpreises wert?
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b) Eine Algenart wächst so stark, dass sich die Menge innerhalb von 15 Jahren verdoppelt. Um wie viel Prozent wachsen die Algen pro Jahr?
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c) Der radioaktive Zerfall einer Substanz mit einer Halbwertszeit von 8 Stunden erfolgt nach der Zerfallsfunktion

Dabei ist x die Zeit in Stunden, k die sogenannte Zerfallskonstante und f(x) die Masse der nach der Zeit x verbleibenden Menge der Substanz in Milligramm.
Bestimmen Sie
– die Anfangsmenge der Substanz zu Beginn des Zerfalls,
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– die Zerfallskonstante k und
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– die Menge der radioaktiven Substanz, die nach drei Tagen noch vorhanden ist.
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3. Führen Sie für die Funktion f : x → 2x2 ·–x eine vollständige Funktionsuntersuchung nach dem Zehn-Punkte-Schema durch.