MATA3 ILS --> Note 0,7 EINSENDEAUFGABE

1. Gegeben sind die folgenden Funktionen
(I) f1(x) = 3x +2 mit
(II) f2(x) = mit
(III) f3(x)= x3 + 4x mit
(IV) f4(x)= x3 - 8 mit
(V) f5(x)= x3 – 2x2 mit
(VI) f6(x)= 2x3 + 3x2 + 12 mit
a) Welche der Funktionen f1 bis f6 haben keine relativen Extremstellen?
Begründen Sie Ihre Antwort kurz und treffend.
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b) Welche der Funktionen f1 bis f6 haben Sattelpunkte?
Bestimmen Sie diese!
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2. (Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
Geben Sie für die wahren Aussagen eine kurze Begründung und für die falschen ein Gegenbeispiel an.
(I) Eine differenzierbare Funktion f mit Df = kann nur dann eine Extremstelle an der Stelle xe besitzen, wenn dort f ' (xe) = 0 ist.
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(II) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hinreichend dafür, dass xe keine relative Extremstelle von f ist, ist f ' (xe) ≠ 0.
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(III) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . f ' (xe) = 0 und f '' (xe) < 0 sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für einen relativen Tiefpunkt.
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(IV) Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren dieses Intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer Stelle xe [a ; b] ein absolutes Maximum hat, liegt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vor.
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(V) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hat f an der Stelle xe einen Wendepunkt mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an der Stelle xe ein Sattelpunkt vor.
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3. Berechnen Sie von den Funktionen f1, f2 und f3 die relativen Extremstellen mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums.
(I) f1(x) = x4 – 9x2 mit
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(II) f2(x) = x3 – 2x2 -5x + 8 mit
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(III) f3(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1 mit
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4. Gegeben sind die Funktionen f und g. Berechnen Sie die Wendepunkte mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums und geben Sie die Gleichungen der Wendetangenten an.
(I) mit D f =
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(II) mit D g =
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5. Gegeben ist die Funktion

Führen Sie eine vollständige Funktionsuntersuchung nach dem Elf-Punkte-Schema durch und fertigen Sie am Schluss eine genaue Zeichnung des Graphen der Funktion an.
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