MatL 4N Einsendeaufgabe Analytische Geometrie 2 ILS HAF Note 1,

1. Gegeben sei eine Ebene E durch die Punkte A(1|–1|2), B(2|1|8) und C(–1|–2|2).
a) Geben Sie eine Parameterform dieser Ebene an. Beachten Sie die „Verabredung“
zum Aufstellen dieser Parameterform!
b) Wandeln Sie diese Parameterform in eine Koordinatengleichung um, indem
Sie die Parameter eliminieren!
c) Überprüfen Sie, ob der Punkt D(3|3|7) in der Ebene E liegt!
d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen
und zeichnen Sie das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein
geeignetes Koordinatensystem!
e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel  der Ebene E gegen die x1/x2-Ebene!
f) Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g, die durch
die Punkte P(2|1|2) und Q(1|0|1) verläuft!
g) Welchen Winkel  schließen g und E ein?
h) Welchen Abstand hat der Punkt Z1(–4|1|–1) von E?
i) Welchen Abstand hat Z2(1|2|–4) von g?
2. Die in der x1/x2-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegenden Fußpunkte
von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe h = 5 m
haben die Koordinaten P1(3|5|0), P2(–5|3|0), P3(–3|–5|0) und P4(5|–3|0).
An den Pfostenspitzen wird eine elastische Plane befestigt. Damit Regenwasser
besser ablaufen kann und sich nicht in der Mitte der Plane sammelt, wird eine
gerade, starre Stange so von oben auf die Plane gelegt, dass eine V-förmige Dachform
entsteht. Die Stangenenden werden durch zwei am Boden befestigte Seile
nach unten gezogen und befinden sich dadurch in den Punkten Z1(–1|4|4) und
Z2(1|–4|3).
a) Zeigen Sie, dass die Fußpunkte der Pfosten ein Quadrat bilden!
b) Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel  bildet sie mit der x1/x2-
Ebene?
c) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige
Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten
(sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?
d) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten P1 und
P2 erhöhen. Um welchen Betrag?
e) Welchen Winkel  bilden die beiden Dachteile nun miteinander?