1. Ein Kundenberater arbeitet in einem Call-Center. Er empfängt Anrufe aus aller
Welt, d.h. aus allen Zeitzonen; aus diesem Grunde hängt die Häufigkeit der Anrufe
nicht von der Tageszeit ab.
Sei nun t die (zufällige) Zeit zwischen zwei Anrufen, wobei wir diese Zeit in Sekunden messen. Die Erfahrung sagt, dass die Verteilungsfunktion V die folgende Struktur hat: Es gibt ein c > 0 mit
V(x) p( t x) 1 – e– c x für alle x 0.
Dieser Wert V(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bis zum nächsten
Anruf höchstens x Sekunden dauert. Oder anders ausgedrückt: Wenn man nach einem Anruf x Sekunden vergehen lässt, so ist V(x) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
während dieser Zeitspanne ein neuer Anruf eingetroffen ist.
Der Vollständigkeit halber definieren wir
V(x) p(t x) 0 für alle x < 0.17
a) Der Kundenberater hat festgestellt, dass er in der Hälfte aller Fälle höchstens 20
Sekunden auf den nächsten Anruf warten muss. Bestimmen Sie aus dieser Angabe die Zahl c in der Gleichung V(x) 1 – e– c x.
Runden Sie diese Zahl bitte auf 5 Nachkommastellen.
Hinweis: In der Gleichung eu v kann man auf beiden Seiten den natürlichen
Logarithmus ln bilden; auf diese Weise erhält man u ln(v).
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass spätestens nach 10 Sekunden der nächste Anruf
ankommt?
c) Bestimmen Sie die Zahl x mit der folgenden Eigenschaft: Mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit dauert es höchstens x Sekunden, bis der nächste Anruf hereinkommt.
Hinweis: Auch hier führt beiderseitiges Logarithmieren zum Ziel.
d) Bestimmen Sie diejenige zu V gehörende Dichtefunktion f, die folgendermaßen
aufgebaut ist:
f(x)
Zeichnen Sie außerdem die Funktionsgraphen von V und f in ein Koordinatensystem.
Hinweise und Anmerkungen:
• Ein freundlicher Gruß aus der Differentialrechnung: Wenn A(x) e B(x) ist, so
ergibt die Kettenregel, dass A'(x) B'(x) e B(x) ist.
• Sie dürfen darauf vertrauen, dass die von Ihnen konstruierte Funktion f tatsächlich eine Dichtefunktion ist. Insbesondere brauchen Sie nicht nachzuweisen, dass die Fläche unter dem Graphen von f den Inhalt 1 hat.
• Ebenso dürfen Sie darauf vertrauen, dass V die zu f gehörende Verteilungsfunktion ist. Das heißt, dass Sie diese Beziehung zwischen V und f nicht beweisen müssen.
• Ihre Zeichnung soll ungefähr den Bereich –5 x 50 abdecken. Es empfiehlt
sich, die x-Achse in 5-er-Schritte einzuteilen, wobei der Abstand zwischen x
und (x 5) ungefähr 1 cm beträgt. In der vertikalen Achse sollte der Abstand
zwischen y und (y 0,1) ungefähr 1,5 cm betragen. Bei diesen Vorgaben können Sie beide Funktionsgraphen recht gut in ein einziges Koordinatensystem
eintragen. Sie können aber auch zwei verschiedene Koordinatensysteme anlegen, eines für V und das andere für f.
So, und nachdem wir diese Wahrscheinlichkeitsverteilung etwas näher kennen gelernt haben, können wir sie auch beim Namen nennen: Es handelt sich um die stetige Exponentialverteilung. Und warum sind die Zeitabstände zwischen zwei Anrufen nun nicht stetig gleichverteilt? Dazu eine Plausibilitätsbetrachtung:
Angenommen, Peter will 1 Sekunde nach dem letzten Anruf mit dem Kundenberater
sprechen, Leo dagegen 3 Sekunden nach dem letzten Anruf. Dann wird Peters Anruf
durchgeschaltet, während Leos Anruf zunächst einmal unterdrückt oder umgeleitet
wird. Das bedeutet, dass die schnellen Anrufer eine bessere Chance haben als die
langsamen, und das wiederum ergibt zum Beispiel, dass für den Kundenberater die
Zeit bis zum nächsten Anruf eher in dem Intervall [1,0 ; 2,0] liegen wird als in dem
gleich langen Intervall [3,0 ; 4,0].
2. Die Kochschulen „Culinaria“ und „Gastronomia“ prüfen regelmäßig die Fähigkeiten
ihrer Schüler. Dabei besteht eine der Aufgaben darin, von einer Rinderhüfte ein
Steak von 180 Gramm abzuschneiden, ohne dass dabei eine Waage benutzt werden
darf. In beiden Schulen hat sich herausgestellt, dass die Gewichte der Steaks (zumindest annähernd) normalverteilt sind und im Mittel tatsächlich bei 180 g liegen
a) In der Kochschule „Culinaria“ beträgt die Standardabeweichung 11,25 ( in
Gramm). Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Steak höchstens 189 g wiegt.
b) In der Kochschule „Gastronomia“ hat sich herausgestellt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,67 ein Steak mit höchstens 183,5 Gramm abgeschnitten
wird. Wie groß ist in diesem Falle die Standardabweichung?
c) Die unterschiedlichen Standardabweichungen beruhen nicht etwa auf der unterschiedlichen Qualität der beiden Kochschulen. Vielmehr testet die eine Kochschule immer Anfänger, während die andere Schule ihre Prüfung immer nach
dem 2. Lehrjahr abhält. Entscheiden Sie, welche Schule die Anfänger geprüft
hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mit einer Plausibilitätsbetrachtung
(nicht mit einem mathematisch formalen Beweis).
3. Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n 150 und
p0 0,4.
a) Prüfen Sie nach, ob die Bedingung n p0 (1 – p0) > 9 erfüllt ist.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) µ0 sowie die Standardabweichung
s(X) 0.
c) Berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit p (53 < X < 70), und wenden Sie dabei den Satz von Moivre-Laplace an.
4. Die Werkzeuge AG stellt unter anderem auch Nägel her. Der Hersteller behauptet,
dass höchstens 1,7 % dieser Nägel defekt seien. Wir stellen nun einen rechtsseitigen
Hypothesentest auf, und zwar mit den folgenden Hypothesen:
Nullhypothese H0: p* p0 0,017, Gegenhypothese H1: p* > 0,017.
Wir untersuchen n 1 000 Nägel.
Berechnen Sie die in Tab. 2.7 angegebene Zahl b mit der Eigenschaft, dass die die folgende Entscheidungsregel zu einem rechtsseitigen Hypothesentest mit dem Signifikanzniveau sig1 4 % führt:
Wir entscheiden uns für H0, falls die Anzahl der defekten Nägel höchstens gleich
b ist. Andernfalls entscheiden wir uns für H1.
Prüfen Sie dabei auch nach, ob n p0 (1 – p0) > 9 ist.
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