MatW 2b-XX1-K02

1. Ein Kundenberater arbeitet in einem Call-Center. Er empfängt Anrufe aus aller Welt, d. h. aus allen Zeitzonen; aus diesem Grunde hängt die Häufigkeit der Anrufe nicht von der Tageszeit ab. Sei nun t die (zufällige) Zeit zwischen zwei Anrufen, wobei wir diese Zeit in Sekunden messen. Die Erfahrung sagt, dass die Verteilungsfunktion V die folgende Struktur hat: Es gibt ein c > 0 mit
V(x)  p( t  x)  1 – e– c  x für alle x  0.
Dieser Wert V(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bis zum nächsten Anruf höchstens x Sekunden dauert. Oder anders ausgedrückt: Wenn man nach einem Anruf x Sekunden vergehen lässt, so ist V(x) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
während dieser Zeitspanne ein neuer Anruf eingetroffen ist.
Der Vollständigkeit halber definieren wir
V(x)  p(t  x)  0 für alle x < 0.17
a) Der Kundenberater hat festgestellt, dass er in der Hälfte aller Fälle höchstens 20 Sekunden auf den nächsten Anruf warten muss. Bestimmen Sie aus dieser Angabe die Zahl c in der Gleichung V(x)  1 – e– c  x. Runden Sie diese Zahl bitte auf 5 Nachkommastellen. Hinweis: In der Gleichung eu
v kann man auf beiden Seiten den natürlichen
Logarithmus ln bilden; auf diese Weise erhält man u
 ln(v).
b) Wie wahrscheinlich ist es, dass spätestens nach 10 Sekunden der nächste Anruf
ankommt?
17. Die Vorstellung einer Zeitspanne t < 0 zwischen zwei Anrufen ist allerdings nicht ganz abwegig: Beispiels-
weise kann man sich t  –5,0 so vorstellen, dass der nächste Anruf 5,0 Sekunden vor Beendigung des aktu-
ellen Telefonats eintrifft. Wir gehen jedoch davon aus, dass derartig frühzeitig eintreffende Anrufe gar nicht
an den besagten Kundenberater weitergeleitet werden.
c) Bestimmen Sie die Zahl x mit der folgenden Eigenschaft: Mit 80 %-iger Wahrscheinlichkeit dauert es höchstens x Sekunden, bis der nächste Anruf hereinkommt.
d) Bestimmen Sie diejenige zu V gehörende Dichtefunktion f