1. Ein Architekt soll eine Siedlung aus Einfamilienhäusern planen. Dabei stehen ihm die
folgenden 5 Fensterformen zur Verfügung:
a) Stellen wir uns nun vor, dass jedes Haus vorne mit 3 Fenstern ausgestattet sein soll,
wobei alle Fenster voneinander verschieden sein müssen. Dabei ist die Reihenfolge
der Fenster von Bedeutung. Zwei Musterhäuser sind in der unteren Zeichnung dargestellt.
Aus wie vielen Häusern kann die Siedlung maximal bestehen?
b) Stellen wir uns nun vor, dass nun doch ein und dieselbe Fensterform mehrfach verwendet werden darf. Dieses ist z.B. in den beiden unten abgebildeten Musterhäusern
der Fall.
Wie viele Häuser kann die Siedlung dann im Höchstfall umfassen?
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2. Seit dem letzten Jahr gibt eine Restaurant-Kette Verzehrgutscheine heraus. Ein solcher
Gutschein gilt für 5 Restaurantbesuche. Dabei kann man zwischen 8 Gaststätten wählen.
Außerdem ist die Reihenfolge der besuchten Restaurants unerheblich.
a) Auf wie viele Arten kann man den Gutschein ausnutzen, wenn man in jedem Restaurant höchstens einmal einkehren darf?
b) Auf wie viele Arten kann man den Gutschein ausnutzen, wenn man mehrfach in
demselben Restaurant einkehren darf?
3. a) Leonie Meyer ist eine begeisterte Wassersportlerin. Sie ist Mitglied in einem
Schwimmverein, dessen Schwimmhalle täglich geöffnet hat, auch an Sonn- und Feiertagen.
An jedem Tag trainiert Frau Meyer die folgenden sechs Disziplinen:
Brustschwimmen (Br),
Rückenschwimmen (R),
Kraulen (Kr),
Delphin (D),
Tauchen (T),
Turmspringen (Ts).
Am 1. Januar 2010 begann Frau Meyer ein umfangreiches Trainingsprogramm. Dieses Programm bestand darin, dass sie an jedem Tag die oben genannten sechs Disziplinen in einer anderen Reihenfolge übte. Welcher Tag war der letzte in diesem Programm?
b) Peter Schulze ist ebenfalls Mitglied dieses Schwimmvereins. Er verzichtet zwar auf
das Turmspringen, trainiert aber dafür einige andere Disziplinen mehrmals am Tag.
Sein täglicher Trainingsplan lautet:
Brustschwimmen (Br): 3 Trainingseinheiten,
Rückenschwimmen (R): 2 Trainingseinheiten,
Kraulen (Kr): 2 Trainingseinheiten,
Delphin (D): 1 Trainingseinheit,
Tauchen (T): 1 Trainingseinheit.
Blauer Bär
Goldener Gaul
Grüner Grashüpfer
Lila Libelle
Rotes Reh
Schwarzer Schwan
Silberner Salamander
Weißer Wal
Blauer Bär
Goldener Gaul
Grüner Grashüpfer
Lila Libelle
Rotes Reh
Schwarzer Schwan
Silberner Salamander
Weißer Wal
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Auch Herr Schulze möchte diese Übungen an jedem Tag in einer anderen Reihenfolge durchführen. Dabei müssen die Trainingseinheiten einer einzelnen Disziplin
nicht unmittelbar hintereinander folgen, sondern dürfen auch von Trainingseinheiten anderer Disziplinen unterbrochen werden, wie z.B.
D Br R T Br Kr Br Kr R
Herr Schulze hat dieses Trainingsprogramm im Jahre 2011 begonnen und trainiert
seitdem in jedem Kalenderjahr genau 360 Tage. Einige von Herrn Schulzes Freunden
sind da etwas skeptisch: „Wenn Du das gesamte Programm durch hast, bist Du schon
lange in Rente.“ Peter Schulze kontert: „Nein, ich benötige zwar alle Arbeitsjahre,
aber dasjenige Jahr, in dem ich in Rente gehe, wird zugleich das letzte Jahr meines
Trainingsprogramms sein.“ In der Tat, Herr Schulze hat Recht! Frage nur: Wie alt
wurde Herr Schulze, als er im Jahre 2011 Geburtstag feierte? Dabei gehen wir davon
aus, dass Herr Schulze seine Rente bezieht, sobald er 67 Jahre alt ist.
(Hinweis: Für alle k gilt: Das k-te Jahr in Herrn Schulzes Trainingsprogramm ist zugleich das Kalenderjahr (k + 2010).)
4. Ein Losbudenbesitzer bietet folgendes Spiel an:
Der Kunde bezahlt einen Einsatz von € 1,50. Dann greift er einmal in eine
Urne, in der 10 Kugeln liegen. Diese Kugeln haben die folgenden Farben:
5-mal weiß (w), 4-mal grau (g) und 1-mal schwarz (s).
Wenn der Kunde eine weiße Kugel greift, bekommt er nichts und hat seinen Einsatz verspielt. Zieht er eine graue Kugel, so erhält er von dem Losbudenbesitzer
€ 2,00, und darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten. Bei der schwarzen Kugel erhält der Kunde € 6,00, und auch darin ist der zurückerstattete Einsatz enthalten.
Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn, den der Losbudenbesitzer auf die Dauer
erzielt, und berechnen Sie die Varianz sowie Standardabweichung seiner Gewinne und
Verluste. (Dabei wird ein Verlust als negativer Gewinn gezählt.)
5. Eine Automobilfabrik stellt unter anderem vier Modelle her, die wir hier als die Modelle
TTT, UUU, VVV und WWW bezeichnen. Alle Modelle werden entweder mit Automatic
(A) oder mit Schaltgetriebe ( ) hergestellt. Außerdem kann der Kunde wählen zwischen einem Benzinmotor (B) und einem Dieselmotor ( ).
a) Beginnen wir mit dem Modell TTT:
30 % aller derartigen Fahrzeuge mit Benzinmotor haben eine Automatic, bei den
Fahrzeugen mit Dieselmotor sind es 28 %. Insgesamt haben 61 % aller Fahrzeuge einen Benzinmotor.
Berechnen Sie den Anteil der Autos mit Automatic. Geben Sie dabei den Namen des
Satzes an, den Sie zitieren. Die Aufgabe soll mit Hilfe dieses Satzes gelöst werden
und nicht mit Hilfe einer Vierfelder-Tafel.
A
B
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b) Nun zum Modell UUU:
Hier haben 32 % aller Fahrzeuge eine Automatic, und 56 % werden von einem Benzinmotor angetrieben; unter diesen Benzin-Autos besitzen sogar 35 % eine Automatic.
Berechnen Sie den Anteil der Benzin-Autos unter den Automatic-Fahrzeugen. Geben Sie dabei den Namen des Satzes an, den Sie zitieren. Die Aufgabe soll mit Hilfe
dieses Satzes gelöst werden und nicht mit Hilfe einer Vierfelder-Tafel.
c) Als nächstes das Modell VVV:
Genau 27 % aller Benzin-Fahrzeuge haben eine Automatic. Außerdem sind die Ereignisse „Automatic“ und „Benzinmotor“ stochastisch unabhängig. Wie viel Prozent
aller Diesel-Fahrzeuge haben dann ein Schaltgetriebe?
d) Schließlich zum Modell WWW:
Dort besitzen 25,6 % aller Benzin-Fahrzeuge eine Automatic, bei den Fahrzeugen mit
Dieselmotor sind es 9,6 %. Insgesamt haben 65 % aller Fahrzeuge einen Benzinmotor.
Erstellen Sie diejenige Vierfelder-Tafel, die sich aus den vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten ergibt; geben Sie dabei an, wie Sie zu den einzelnen Einträgen in den Zellen der Tafel gelangt sind.
6. In einer Lotterie wird ein Ziehungsgerät mit fünf kleinen Glücksrädern verwendet. Diese Glücksräder arbeiten unabhängig voneinander, d.h. sie beeinflussen einander nicht.
Auf jedem einzelnen Glücksrad ist als Gewinnsymbol eine Sonne abgebildet, und jedes
Glücksrad zeigt diese Sonne mit 22 %-iger Wahrscheinlichkeit an.
Das Ziehungsgerät besitzt folgende Gewinnmöglichkeiten:
• 0-mal oder einmal die Sonne: kein Gewinn,
• zweimal oder dreimal die Sonne: ein Trostpreis,
• viermal oder fünfmal die Sonne: ein Riesen-Gewinn.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler einen Trostpreis (und insbesondere keinen Riesen-Gewinn) erzielt.
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