1 Aufgabenbereich: Lösen von Gleichungssystemen
Bestimmen Sie mithilfe einer selbst gewählten Methode die Lösungen der vorgegebenen Gleichungssysteme! Überprüfen Sie alle Lösungen in jeder Gleichung des Gleichungssystems!
Aufgabe 1.1:
x = 2y – 2
2x = 2y – 3
Aufgabe 1.2:
– 2 (1 – y) = x
– 2y = x
Aufgabe 1.3:
– 6y – 3 = – 2x + 2
3x – 2y = 4
Aufgabe 1.4:
3x – 5y + 6z = 12
4x + 2y – z = – 11
– x + 6y = 2
2 Aufgabenbereich: Wurzelgleichung
Berechnen Sie bitte die gültigen Lösungen der folgenden Wurzelgleichungen!
Aufgabe 2.1:
14 = √x-4 + √x24
Aufgabe 2.2:
√5x+19 = √x+7 + 2*√x-5
Aufgabe 2.3:
^2√x+1 = 6^√7+1
3 Aufgabenbereich: Binomischer Lehrsatz
Aufgabe 3.1:
∑_(0,3)(1+n)/n!)
Aufgabe 3.2:
(6¦2) - (6¦3)
Aufgabe 3.3:
(1/2*x - 6y)^4
4 Aufgabenbereich: Folgen und Reihen
Aufgabe 4.1:
Gegeben ist die Folge 1024, 32, 1, 1/32, 1/1024, …
1)
Beurteilen und begründen Sie, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt.
2)
Zwischen je zwei benachbarten Gliedern der Folge sollen je vier neue Glieder interpoliert werden. Bestimmen Sie bitte alle Glieder der neuen Folge zwischen 1024 und 1/1024.
Aufgabe 4.2:
Falten Sie bitte gedanklich ein ausreichend großes Stück Papier mit der Dicke d = 0,104 mm (typischer Wert bei Kopierpapier) vierzigmal. Berechnen Sie die sich ergebene Dicke der Papierschicht.
Aufgabe 4.3:
Beim Durchgang durch eine Glasscheibe verliert ein Lichtstrahl 9 % seiner Lichtstärke L durch Reflexion und Dämpfung. Bei einem Versuch wird festgestellt, dass nach Durchdringen eines Stapels Scheiben die Stärke des austretenden Licht nur noch die Hälfte des eingestrahlten Lichts beträgt. Ermitteln Sie die Scheibenzahl n, aus der der Stapel besteht.
5 Aufgabenbereich: Zinsrechnung
Aufgabe 5.1:
Eine Firma bildet eine Rücklage, um in der Zukunft eine Ersatzbeschaffung von 7 500 € aus eigener Kraft durchzuführen. Berechnen Sie den heute zurückzulegenden Betrag, damit bei einer jährlichen Verzinsung von 3 % in 5 Jahren
der volle Betrag zur Verfügung steht.
Aufgabe 5.2:
Sie haben Ihr Gehaltskonto überzogen und dabei den Dispositionskredit von 11 000 € voll ausgenutzt. Der monatliche Zinssatz für diesen betrage 1,08 %. Berechnen Sie den für Kredit und Zinsen nach einem halben Jahr zurückzuzahlenden
Betrag, wenn Sie bis dahin nicht tilgen.
6 Aufgabenbereich: Analytische Geometrie
Aufgabe 6.1:
Prüfen Sie, ob a sich als Linearkombination von b und c darstellten lässt.
a = ■(3@5@7), b = ■(3@1@2), c = ■(-1@1@1)
Aufgabe 6.2:
Ein Betrieb stellt in zwei Produktionsstufen drei Zwischenerzeugnisse her. In nachstehender Tabelle 1 sind die Rohstoffmengen Rn angegeben, die für die Herstellung der drei Zwischenerzeugnisse Zn benötigt werden. Tabelle 2 enthält die Mengen der Zwischenerzeugnisse, die für die Herstellung einer Mengeneinheit (ME) jedes Enderzeugnisses En verwendet werden.
Tabelle1: Tabelle 2:
Z1 Z2 Z3 E1 E2
R1 1 0 3 Z1 3 5
R2 3 1 2 Z2 4 3
R3 0 3 1 Z3 5 2
R4 4 2 0
a)
Stellen Sie das Produktionsnetz dar, aus welchen Rohstoffen die Zwischenerzeugnisse hergestellt werden und wie die Zwischenerzeugnisse zu den Endprodukten zusammengesetzt werden.
b)
Berechnen Sie die ME der vier Rohstoffe jeweils benötigt für die Herstellung von 1 ME der beiden Endprodukte.
c)
Eine Bestellung erfordert die Produktion von 100 ME von E1 und 50 ME von E2. Bestimmen Sie den Nachfragevektor und berechnen Sie den Bedarf an den einzelnen Rohstoffen, damit diese Nachfrage erfüllt werden kann.
7 Aufgabenbereich: Differentialrechnung
Aufgabe 7.1:
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitungsfunktion der gegebenen Funktionen!
1)
f(x) = 2x^3 + 5x^2 – 8
2)
f(x) = 1/2 * x^4 + 5x^3 – 3x
3)
f(x) = x^2 (2x + 4)
Aufgabe 7.2:
Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x0!
1)
f(x) = 2 * √x + x^2 x0 = 2
2)
f(x) = 1/2 * x^2 + 2/x^3 x0 = – 1
3)
f(x) = 2 e^(3x) x0=1/2
8 Aufgabenbereich: Kurvenuntersuchung – Parabel
Gegeben ist die reelle Funktion f(x) = 2x^2 – 4x – 6
Aufgabe 8.1:
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit den Koordinatenachsen!
Aufgabe 8.2:
Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Parabel mithilfe der Differentialrechnung!
Aufgabe 8.3:
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Schnittpunkt mit der y-Achse.
Aufgabe 8.4:
Berechnen Sie die Koordinaten des Punkt auf der Parabel mit dem Steigungswinkel α = 75,96°.
Aufgabe 8.5:
Stellen Sie die Parabel mithilfe der errechneten Werte von 6.1 und 6.2 in einem Koordinatensystem grafisch dar!
9 Aufgabenbereich: Integralrechnung und Flächenberechnung
Aufgabe 9.1:
Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen.
1)
f(x) = 1/3 * (x^3 – 3x^2 + 2x – 3)
2)
f(x) = x^2 – 3x + 4
3)
f(x) = 1/4 * (2x^2 – x + 2)
Aufgabe 9.2:
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche bzw. Flächen, die der Graph der Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt! Geben Sie dabei stets eine entsprechende Stammfunktion mit an!
1)
f(x) = 2x^2 – 4x
2)
f(x) = – 1/3 * x^3 + 3x
3)
f(x) = 1/2 * x^4 – 5/2 * x^2 + 2
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