PYS04-02-XX2-K03

1. Die Kabine einer Achterbahn startet im Punkt H einer Rampe (siehe Abb.)
und fährt mit der Geschwindigkeit v1 in die Schleifenbahn bei F ein. Die Mas-
se des Fahrzeugs einschließlich der Personen sei M = 1000 kg, der Kreisradius
betrage r = 5 m und die Fallbeschleunigung ist g = 9,81 m/s2. Von
Reibungsverlusten sei abgesehen. a) Erläutern Sie zunächst, welche Kräfte vom „Standpunkt“ des Mitfahren-
den auf die Kabine einwirken, wenn sie den Kreis von F ab durchfährt.
Zeichnen Sie die Kräfte in den Punkten F, G. K und H ein sowie die Re-
sultierende. (Verwenden Sie dazu einen etwas größeren Kreis.)
b) Welche Bedingung müssen die Kräfte im Punkt K erfüllen, damit die
Kabine dort nicht aus den Schienen fällt, und mit welcher Mindestge-
schwindigkeit v2 muss K passiert werden?
c) Berechnen Sie für die Kabine die Gesamtenergie in K und daraus die Ge-
schwindigkeit v1.
d) Mit welcher Kraft wird nach den Überlegungen von a) eine Person der
Masse m = 75 kg in F kurzzeitig in den Sitz gedrückt?
2. Ein Federpendel mit der Masse m = 9 · 10-2 kg hat folgenden s-t-Graph:
a) Bestimmen Sie die Federkonstante D.
b) Bestimmen Sie die Gleichung des abgebildeten Graphen.
c) Berechnen Sie die Auslenkungen s zu den Zeiten
t = 12 s, t = 2 s und t = 6,5 s
d) Bestimmen Sie v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den v-t-Graphen im
gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
e) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten zu den Zeiten
t = 0, t = 2 s und t = 6,5 s.
f) Bestimmen Sie a(t) = v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den a-t-Graphen
im gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
g) Berechnen Sie die Beschleunigungen zu den Zeiten
t = 1 s, t = 3 s und t = 6,5 s.
h) Legen Sie formal und anschaulich dar, warum bei s = ±s0 die größte ne-
gative bzw. positive Beschleunigung herrscht und warum bei s = 0 die
Beschleunigung a = 0 ist.
i) Weisen Sie durch Rechnung nach: Die Energie des Pendels zur Zeit
t = 1 s ist gleich der Energie des Pendels zur Zeit t = 2 s. Also:
W(1s) = W(2s)
3.Zwei Wellen s1(x, t) und s2(x, t) laufen zur gleichen Zeit t = 0 von dem ge-
meinsamen Anfangspunkt O in positiver x-Richtung los.
Die Wellenlänge von s1(x, t) beträgt  = 2 cm, die Frequenz f = 10 Hz.
Die Wellenlänge von s2(x, t) beträgt , die Frequenz f = 11 Hz.
Beiden Wellen haben die gleiche Amplitude sm = 2 cm.
Da beide Wellen zugleich von ein und demselben Trägermedium transportiert
werden, überlagern sie sich, und zwar so, dass sich jeweils die momentanen
Auslenkungen s1(x) bzw. s2(x) am gleichen Ort x zu s(x) addieren:
s(x) = s1(x) + s2(x).
a) Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c1 von s1(x, t) und c2 von s2(x, t).
b) Stellen Sie die Wellengleichungen für s1(x, t) und s2(x, t) auf.
c) Zeichen Sie für die Zeit t = 1 s die Graphen beider Wellen in je ein x-s-Koordinatensystem. Um die Länge der x-Achse bestimmen zu können, berechnen Sie zuvor, wie weit die beiden Wellen jeweils in 1 s gekommen sind.
d) Addieren Sie graphisch die beiden Wellen, indem Sie die Auslenkungen
der gleichen Stelle x addieren und in ein neues Koordinatensystem eintragen.
e) Stellen Sie die Wellengleichungen für S1(x, t) an der Stelle x = 0 auf. Skizzieren Sie den Graphen.
f) k= 2pi: Wellewird auch als Wellenzahl bezeichnet. k bedeutet anschaulich
die Anzahl der Phasen 2 je Meter Lauflänge. Berechnen Sie k1 für die Welle s1(x, t) und dann die Anzahl N sämtliche durchlaufenen Phasen 2 bis zur Stelle x = 20cm. Überprüfen Sie das Ergebnis an Ihrer Zeichnung. Schreiben Sie die Wellengleichung s1(x, t) mit k1.
4. Auf einem l = 2,70 m langen Draht bildet sich ähnlich wie nach Abb. 4.14 bei
einer Erregerfrequenz f = 50 Hz eine stehende Welle aus, wobei allerdings
10 Schwingungsknoten (einschließlich der Endpunkte) auftreten.
a) Wie groß ist die Wellenlänge sowie die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der Welle?
b) Welche Wellenlänge 0 und Frequenz f0 würde der Grundschwingung
und welche (bei gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit) würde der 1. und
2. Oberschwingung der Saite entsprechen?
c) Wie lang müsste eine einseitig geschlossene Röhre sein, wenn sie bei
50 Hz in ihrem Grundton ertönen soll (c = 340 m/s)?
2πk λ
5. Der abgebildete Graph zeigt das Weg-Zeit-Gesetz der Schwingung eines Federpendels. Die Pendelmasse beträgt 0,5 kg.
Lösen Sie die folgenden Aufgaben gegebenenfalls auch mit Daten, die Sie dem Graphen entnehmen.
a) Bestimmen Sie die Federkonstante D.
b) Bestimmen Sie die Länge s, um die sich die Feder ausdehnt, wenn die Pendelmasse m angehängt wird.
c) Bestimmen Sie die Halbwertzeit TH der Abnahme der Schwingungsweite.
d) Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante k.
e) Bestimmen Sie die Amplitude s0.
f) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der gedämpften Schwingung und überprüfen Sie s(t) für t = 9,5 s, indem Sie die Zeit in Ihre Gleichung einsetzen.
und g)Zeigen Sie: S0(i+1):S0i= konstante Dampfungskonstante d=e^-k+T ist. T ist die Schwingungszeit und i = 1,2,3,...
Bsp. für i = 2:S02 ist von links gesehen das zweite Maximum der
gedämpften Schwingung und S02(2+1) = S03 das dritte Maximum.
Bestimmen Sie  und berechnen Sie S05 indem Sie S04 dem Graphen entnehmen.