Einsendeaufgabe Mathe Sgd MAC03A, Note 1,0

1. Gegeben ist die Funktion f. Die Funktion F ist eine Stammfunktion von f.
a) Stellen Sie die Bedeutung der Terme f (x1) - f (x2) und F (x2) - F (x1) durch geeignete Einzeichnungen in den Abb. E.1 und E.2 jeweils grafisch dar.
b) Beschreiben Sie die geometrische Bedeutung der beiden Terme.
2. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = cos(x).
a) Geben Sie den Wert des Integrals an.
b) Begründen Sie (ohne Stammfunktion), dass gilt ___
c) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion g mit g (x) = 2 + 0,5cos(x) aus dem Graphen der Funktion f entsteht.
3. Abb. E.3 stellt die Zufluss- und Abflussraten (in Kubikmeter pro Stunde) für einen Zeitraum von 6 Stunden dar. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank 2 m³ Wasser.
a) Bestimmen Sie anhand der Abb. E.3 wie viel Wasser sich nach 2 Stunden in dem Tank befindet.
b) Skizzieren Sie in der Abb. E.4 den Verlauf des sich im Tank befindlichen Wasservolumens in Abhängigkeit von der Zeit.
4. a) Abb. E.5 enthält die Graphen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion. Entscheiden Sie, welche der beiden Funktionen die Ausgangsfunktion und welche die Ableitungsfunktion darstellt und begründen Sie Ihre Entscheidung.
b) Eine Funktion hat eine Nullstelle. Sie nähert sich für x gegen unendlich der Geraden mit der Gleichung y = -1 und geht durch den Punkt (0/2). Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an und skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
5. Gegeben sei die Funktion f.
a) Berechnen Sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f.
b) Berechnen Sie das Monotonie- sowie das Krümmungsverhalten der Funktion f.
c) Stellen Sie die Funktion f grafisch dar.
6. Gegeben sei eine ganzrationale Funktion f dritten Grades mit den in Abb. E.6 angegebenen Eigenschaften (H bedeutet Hochpunkt und W bedeutet Wendepunkt).
a) Berechnen Sie den Funktionsterm der Funktion f .
b) Im schraffierten Bereich von Abb. E.6 wird ein Dreieck so einbeschrieben, dass eine Seite die Gleichung y = -3 hat, die zweite Seite parallel zur y-Achse verläuft und die dritte Seite den Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem Graphen und den Wendepunkt miteinander verbindet. Berechnen Sie den x-Wert, bei dem die zweite Dreiecksseite liegen muss, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks maximal werden soll.
7. Gegeben sei die Integralfunktion F.
a) Geben Sie den Term der Funktion Fa(x) explizit an.
b) Zeigen Sie, dass die Ableitung von Fa(x) gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.
c) Nun sei a = 0. Berechnen Sie die Werte x, für die gilt F0(x)= 4/3 .
d) Berechnen Sie den Wert a für den Fa(x) an der Stelle x = 2 eine Nullstelle hat.