Einsendeaufgabe Mathe Sgd MAC05, Note 1,0

1. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g
a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen beider Funktionen.
b) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen beider Funktionen zwischen den Schnittpunkten.
2. a) Lösen Sie das LGS
b) Begründen Sie, welches der beiden Gleichungssysteme unterbestimmt ist.
3. a) Begründen Sie, ob das Tupel (1, 2, 1) die Gleichung 2x - 3y - 5z = 3 erfüllt.
b) Untersuchen Sie rechnerisch, ob der Punkt auf der Geraden mit der Gleichung x liegt.
4. Ein lineares Gleichungssystem in einem Mathematikbuch besteht aus zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a und b. Als Lösung wird angegeben a = r und b = 3r. Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.
5. Berechnen Sie die Lösungen der beiden linearen Gleichungssysteme.
6. Stellen Sie die Gerade mit der Gleichung x in Abb. E.1 grafisch dar.
7. (Aufgabe, angeregt durch MAKOS, TU-Darmstadt, Handreichungen für die Oberstufe Mathematik, Hessen).
Diese Aufgabe, die so ähnlich im Abitur gestellt werden könnte, macht etwa 25 % der Prüfungsleistung aus. Ein Monstertruck führt einen Sprung über eine Rampe vor. Seine Flugbahn ist bekanntermaßen eine Parabel mit der Gleichung f (x). Die Abb. E.2 verdeutlicht grafisch die Verhältnisse.
a) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem. Es liefert die Koeffizienten eines Sprungs des Monstertrucks.
b) Erläutern Sie, welche Eigenschaften des Graphen in der jeweiligen Gleichung beschrieben wird und beschreiben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
c) Für eine „sanfte“ Landung des Trucks ist es wichtig, dass die Rampe die richtige Steigung besitzt. Begründen Sie, dass die Gleichung 22a + b = -0,2 dies sicher stellt.
8. Grüne Meeresschildkröten sind gefährdete Tiere. Bis sich aus dem Jungtier (Abb. E.3) eine geschlechtsreife Schildkröte (Abb. E.4) entwickelt hat, vergehen etwa 15 Jahre. In dieser Zeit lauern viele Gefahren. Raubvögel, Fischernetze, Müll und früher auch der Mensch. Hat eine Schildkröte die Geschlechtsreife erreicht und allen Gefahren getrotzt, dann kehrt sich an den Ort ihrer Geburt zurück und legt etwa 100 Eier. Von den aus den Eiern geschlüpften Jungtieren leben nach einem Jahr noch 5 %. Von den Jungtieren überleben das Jahr 85 %. 0,05 % der Jungtiere werden im Lauf des Jahres etwa geschlechtsreif und geschlechtsreife Schildkröten überleben zu 90 %. Eine Population auf den Malediven bestehe aus 50 000 Eiern, 500 geschlechtsreifen Weibchen und 20 000 Jungtieren.
a) Erstellen Sie einen Übergangsgraphen und geben Sie an, welche Informationen dieser enthält.
b) Geben Sie die Matrix M der jährlichen Entwicklung der Population an.
c) Geben Sie den Entwicklungsstand der Population nach einem Jahr und nach zwei Jahren wieder.
d) Zeigen Sie, dass es bei dieser Matrix M keinen Bestand geben kann, der sich reproduziert.