1. Die Kabine einer Achterbahn startet im Punkt H einer Rampe (siehe Abb.) und fährt mit der Geschwindigkeit v, in die Schleifenbahn bei F ein. Die Masse des Fahrzeugs einschließlich der Personen sei M = 1000 kg, der Kreisradius betrage r = 5 m und die Fallbeschleunigung ist g = 9,81 m/s². Von Reibungsverlusten sei abgesehen.
a) Erläutern Sie zunächst, welche Kräfte vom „Standpunkt“ des Mitfahrenden auf die Kabine einwirken, wenn sie den Kreis von F ab durchfährt.
Zeichnen Sie die Kräfte in den Punkten F, G. K und H ein sowie die Resultierende. (Verwenden Sie dazu einen etwas größeren Kreis.)
b) Welche Bedingung müssen die Kräfte im Punkt K erfüllen, damit die Kabine dort nicht aus den Schienen fällt, und mit welcher Mindestgeschwindigkeit v2 muss K passiert werden?
c) Berechnen Sie für die Kabine die Gesamtenergie in K und daraus die Geschwindigkeit v1
d) Mit welcher Kraft wird nach den Überlegungen von a) eine Person der Masse m = 75 kg in F kurzzeitig in den Sitz gedrückt?
2. Ein Federpendel mit der Masse m = 9 * 10-2 kg hat folgenden s-t-Graph:
a) Bestimmen Sie die Federkonstante D.
b) Bestimmen Sie die Gleichung des abgebildeten Graphen.
c) Berechnen Sie die Auslenkungen s zu den Zeiten t = 12s, t = 2s und t = 6,5 s
d) Bestimmen Sie v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den v-t-Graphen im gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
e) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten zu den Zeiten t = 0, t = 2 s und t = 6,5 s.
f) Bestimmen Sie a(t) = v(t) = s(t) aus b) und zeichnen Sie den a-t-Graphen im gleichen Maßstab für zwei volle Schwingungen.
g) Berechnen Sie die Beschleunigungen zu den Zeiten t = 1 s. t = 3 s und t = 6.5 s.
h) Legen Sie formal und anschaulich dar, warum bei s = +/- s0 die größte negative bzw. positive Beschleunigung herrscht und warum bei s = 0 die Beschleunigung a = 0 ist.
i) Weisen Sie durch Rechnung nach: Die Energie des Pendels zur Zeit t = 1 s ist gleich der Energie des Pendels zur Zeit t = 2 s. Also: W(1s) = W(2s)
3. Zwei Wellen s1(x, t) und s2(x, t) laufen zur gleichen Zeit t = 0 von dem gemeinsamen Anfangspunkt O in positiver x-Richtung los. Die Wellenlänge von s1(x, t) beträgt lambda1 = 2 cm, die Frequenz f = 10 Hz. Die Wellenlänge von s2(x, 1) beträgt lambda2, die Frequenz f = 11 Hz. Beiden Wellen haben die gleiche Amplitude Sm = 2 cm.
Da beide Wellen zugleich von ein und demselben Trägermedium transportiert werden, überlagern sie sich, und zwar so, dass sich jeweils die momentanen Auslenkungen s1(x) bzw. s2(x) am gleichen Ort x zu s(x) addieren: s(x) = S1 (x) + S2(x).
a) Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeiten c1 von s1(x, t) und c2 von s1(x, t).
b) Stellen Sie die Wellengleichungen für s1 (x, t) und s2(x, t) auf.
c) Zeichen Sie für die Zeit t = 1 s die Graphen beider Wellen in je ein X-s-Koordinatensystem. Um die Länge der x-Achse bestimmen zu können, berechnen Sie zuvor, wie weit die beiden Wellen jeweils in 1 s gekommen sind. Hinweis: Wenn Sie die Wertetabelle erstellen, muss der Rechner auf das Bogenmaß eingestellt sein (RAD).
d) Addieren Sie graphisch die beiden Wellen, indem Sie die Auslenkungen der gleichen Stelle x addieren und in ein neues Koordinatensystem eintragen.
e) Stellen Sie die Wellengleichungen für S1(x, t) an der Stelle x = 0 auf. Skizzieren Sie den Graphen.
f) k = 2π / lambda wird auch als Wellenzahl bezeichnet. k bedeutet anschaulich die Anzahl der Phasen 2 π je Meter Lauflänge. Berechnen Sie k1, für die Welle s1(x, t) und dann die Anzahl N sämtliche durchlaufenen Phasen 2 π bis zur Stelle x = 20cm. Überprüfen Sie das Ergebnis an Ihrer Zeichnung. Schreiben Sie die Wellengleichung s1(x, t) mit k1.
4. Auf einem l = 2,70 m langen Draht bildet sich ähnlich wie nach Abb. 4.14 bei einer Erregerfrequenz l = 50 Hz eine stehende Welle aus, wobei allerdings 10 Schwingungsknoten (einschließlich der Endpunkte) auftreten.
a) Wie groß ist die Wellenlänge sowie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle?
b) Welche Wellenlänge und Frequenz würde der Grundschwingung und welche (bei gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit) würde der 1. Und 2. Oberschwingung der Saite entsprechen?
c) Wie lang müsste eine einseitig geschlossene Röhre sein, wenn sie bei 50 Hz in ihrem Grundton ertönen soll (c = 340 m/s)?
5. Der abgebildete Graph zeigt das Weg-Zeit-Gesetz der Schwingung eines Federpendels. Die Pendelmasse beträgt 0,5 kg. Lösen Sie die folgenden Aufgaben gegebenenfalls auch mit Daten, die Sie dem Graphen entnehmen.
a) Bestimmen Sie die Federkonstante D.
b) Bestimmen Sie die Länge s, um die sich die Feder ausdehnt, wenn die Pendelmasse m angehängt wird.
c) Bestimmen Sie die Halbwertzeit T der Abnahme der Schwingungsweite.
d) Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante k.
e) Bestimmen Sie die Amplitude S 0.
f) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der gedämpften Schwingung und überprüfen Sie s(t) für t = 9,5 s, indem Sie die Zeit in Ihre Gleichung einsetzen. Bitte beachten Sie: Zur Bestimmung des sin-Wertes müssen Sie Ihren Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) einstellen.
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