TEIL A:
1. Analysis (Niveau 2)
Rechteck mit den Eckpunkten A=(2/0); B=(6/0); C(2/5) und D=(6/5) wird durch den Graphen der Funktion f mit f(x)= x² – 8x + 17 in zwei Teilflächen unterteilt. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen.
2. Analysis (Niveau 1)
Abb. 0.2 zeigt die Zuflussrate eines Planschbeckens in Liter pro Stunde.
a) Begründen Sie anhand der Zeichnung, in welchen Zeiträumen 0≤ t ≤10 die Wassermenge in Planschbecken zunimmt, wann sie gleich bleibt und wann sie abnimmt.
b) Bestimmen Sie, wie viel Wasser nach t = 5 Stunden zugeflossen ist und begründen Sie Ihr Vorgehen.
3. Lineare Algebra (Niveau 1)
1. Berechnen Sie die Lösung des folgenden Gleichungssystems
2. Eines der beiden folgenden Gleichungssysteme ist nicht lösbar. Begründen Sie, welches nicht lösbar ist.
4. Stochastik (Niveau 1)
Ein Behälter enthält vier rote und sechs blaue Kugeln. Jasmin zieht ohne hinzuschauen und ohne die Kugel zurückzulegen zwei der Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:
A: „Beide gezogenen Kugeln sind blau.“
B: „Mindestens eine der gezogenen Kugeln ist rot.“
C: „Höchstens eine der gezogenen Kugeln ist rot.“
D: „Jasmin zieht eine rote und eine blaue Kugel.“
Teil B2:
1. Die Wirkung des Beruhigungsmittels „Alles wird gut“ wird an einer Reihe von Patienten untersucht. Dabei misst man die Konzentration im Blut der Patienten als Funktion der Zeit x in Stunden. Die Funktion f beschreibt während der ersten 5 Stunden die Konzentration. Danach wird die Konzentration durch eine lineare Funktion beschrieben. Material 1 zeigt den Graphen des Konzentrationsverlaufs.
1.1 Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Konzentration ihren maximalen Wert erreicht.
1.2 Bestimmen Sie den Zeitpunkt innerhalb der ersten 5 Stunden, an dem sich die Konzentration des Medikaments am stärksten ändert.
1.3 Der lineare Abbau nach 5 Stunden wird durch eine Funktion g beschreiben, die durch die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f beschrieben wird. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion g.
1.4 Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf Null gesunken ist.
1.5 Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x) = (-24x – 48)∙ e-0,5x eine Stammfunktion zu f ist.
1.6 Berechnen Sie die mittlere Konzentration des Beruhigungsmittels in den ersten 5 Stunden.
2. Um die Wirkung des Medikaments zu optimieren, soll die Konzentration so verändert werden, dass die maximale Konzentration 2 Stunden nach der Einnahme bei 8 mg pro Stunde liegt.
2.1 Bestimmen Sie die Parameter a und b der neuen Funktion h so, dass die obige Bedingung erfüllt ist.
Teil C2 (ohne Aufgabe 3 +4!):
1. Material 1 zeigt Daten aus der Zulassungsstatistik für PKW des Kraftfahrbundesamtes.
1.1 Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass bei einer Stichprobe aller Pkw, die 2010 bis 2013 in der BRD zugelassen wurden, der betreffende Pkw 2010 zugelassen wurde.
1.2 Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass bei einer Stichprobe der Pkw, die 2010 bis 2013 in der BRD zugelassen wurden, der betreffende Pkw 2010 in Hessen zugelassen wurde.
2. Die Organisation „DBH Deutsche Betriebsstörungshilfe – die Straßenengel e.V.“ möchte den Zusammenhang zwischen Pannenhäufigkeit bei Pkw, dem Alter der Wagen und der Häufigkeit einer bestimmten Pannenursache „E Störungen der Autoelektronik“ anhand statistisch erfasster Daten untersuchen. Material 2 liefert die Daten.
2.1 Stellen Sie in einem Baumdiagramm (erste Stufe Altersklasse, zweite E oder nicht E) die Daten von Material 2 dar.
2.2 Berechnen Sie die relative Häufigkeit, mit der die Ursache E bezogen auf die Gesamtheit der Pannenfälle auftritt.
2.3 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto, bei dem die Ursache E auftritt, zwischen 3 und 5 Jahre alt ist.
2.4 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 zufällig ausgewählten Pannenfällen aus der Gruppe II zwei die Ursache „E“ haben. Geben Sie auch die zugehörige Zufallsvariable an.
2.5 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 zufällig ausgewählten Pannenfällen aus der Gruppe II mehr als 25 die Ursache „E“ haben. Geben Sie auch die zugehörige Zufallsvariable an.
2.6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 zufällig ausgewählten Pannenfällen weniger als 20 der betroffenen PKW zwischen 3 und 5 Jahre alt sind. Geben Sie auch die zugehörige Zufallsvariable an.
2.7 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 zufällig ausgewählten Pannenfällen mindestens 70 der betroffenen PKW über 5 Jahre alt sind. Geben Sie auch die zugehörige Zufallsvariable an.
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