1. Grenzwerte von Funktionen
Gegeben sind die Funktionen
Folgende Aufgabenstellungen sind zunächst für die Funktion f, dann für die Funktion
g und schließlich für die Funktion h zu bearbeiten:
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion.
b) Wie verhält sich die Funktion für x und x – ?
Geben Sie die beiden Grenzwerte für x und für x – und die Gleichung
der Asymptote g an, der sich die Funktion annähert.
c) Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke / an ihren Definitionslücken?
Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymptoten
an den Polstellen an.
d) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Koordinatensystem.
2. Zusammengesetzte Funktionen und ihre Ableitungen
Gegeben sind die Funktionen
f : x x3 + x2 – 4 x – 4
g : x x – 2
a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen f + g, f – g, f g und an.
2
3
f : x
x 2
1
g : x
x 9
1
h : x 2
x
f
g
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2
b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:
c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln
(gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)
d) Welche Steigung hat die Tangente
– bei der Summenfunktion f + g an der Stelle x0 = 1?
– bei der Differenzenfunktion f – g an der Stelle x0 = 0?
– bei der Produktfunktion f g an der Stelle x0 = – 1?
– bei der Quotientenfunktion an der Stelle x0 = 3 ?
3. Differenzierbarkeit / Bestimmung der Ableitung mit Hilfe der Definition
Gegeben sind die Funktionen
f : x x3 – x2 mit x
g : x x2 + 4 x mit x
h : x
Aufgabenstellung:
a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe der
Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der x x0-Methode.
b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 mit Hilfe der
Definition 6 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d. h. für
h 0.
c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierbar ist,
indem Sie den links- und den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x0 = – 1
berechnen und diese vergleichen.
f g 0
f g 1
1
f g
2
f
1
g
f
f g ', f g ', f g ' und
g
'
f
g
– x – 4 x – 2 für x < – 1, x 2
0,5 x + 1,5 für x – 1, x
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3
4. Funktionsuntersuchung
a) Beschreiben Sie den globalen Verlauf der Funktion f für x und für
x – .
b) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Art der Nullstellen, d. h. ob mit oder
ohne Vorzeichenwechsel (VZW).
c) Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von f.
d) Bestimmen Sie die Punkte, an denen die Funktion f waagerechte Tangenten
hat.
e) An welchem Punkt B gibt es eine Tangente, die parallel zur Gerade g mit der
Funktionsgleichung g(x) = – 0,5 x ist?
Bestimmen Sie sowohl den Berührungspunkt B dieser Tangente als auch die
Tangenten- und Normalengleichung in diesem Punkt.
f) Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen im Intervall
[ – 2 ; 3 ].
5. Trigonometrische Funktionen
Gegeben sind die Funktionen
f : x 3 – sin x mit x und
g : x 4 cos x + 2 x mit x
a) Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der Funktion f.
b) An welchen Stellen hat die Funktion f eine waagerechte Tangente?
c) Bestimmen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung der Funktion g.
d) An welchen Stellen hat die Funktion g eine waagerechte Tangente?
1 2
Gegeben ist die Funktion f : x x 1 x 2 mit x
6
0 ;
2
0 ;
2
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4
6. Praktische Anwendungsaufgabe
Am Fuße eines Berghanges mit dem Neigungswinkel = 30° steht ein Haus.
1 081 m längs des Hanges bergauf entsteht ein Schneebrett, welches sich beim Hinuntergleiten
zu einer Schneelawine entwickelt. Diese bewegt sich auf dem schiefen
Berghang hinunter nach der Weg-Zeit-Funktion
s(t) = 0,5 · (sin ) · g · t2
wobei = 30° und g die Fallbescheunigung 9,81 m/s2 sind.
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie die Funktionsgleichung für diesen konkreten Fall an. Welchen Weg
hat die Lawine in den ersten 5 Sekunden zurückgelegt?
b) Nach welcher Zeit hat sie das Haus erreicht?
c) Geben Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [t1 ; t2] allgemein
an und berechnen Sie diese in den ersten 5 Sekunden nach der Entstehung
der Lawine und in den letzten 5 Sekunden vor dem Aufprall auf das Haus.
d) Geben Sie die Momentangeschwindigkeit der Lawine allgemein zum Zeitpunkt
t0 an und berechnen Sie diese nach 5 Sekunden, nach 10 Sekunden und zum
Zeitpunkt des Aufpralls auf das Haus.
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