MatA 3 Analysis Einsendeaufgabe ILS HAF Note 1

1. Gegeben sind die folgenden Funktionen
a) Untersuchen Sie jede der Funktionen auf Extremstellen.
b) Welche der Funktionen f1 bis f6 haben Sattelpunkte?
Bestimmen Sie diese!
2. (Bedingungen für Extrem- und Wendepunkte)
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch?
Geben Sie für die wahren Aussagen eine kurze Begründung und für die falschen
ein Gegenbeispiel an.
(I) Eine differenzierbare Funktion f mit Df = kann nur dann eine Extremstelle
an der Stelle xe besitzen, wenn dort f ' (xe) = 0 ist.
(II) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hinreichend dafür, dass xe
keine relative Extremstelle von f ist, ist f ' (xe)  0.
(III) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df= . f'(xe
) = 0 und f '' (xe) < 0
sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für einen relativen Tiefpunkt.
(IV) Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren
dieses Intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer Stelle xe  [a ; b] ein
absolutes Maximum hat, liegt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente
vor.
(V) Sei f eine differenzierbare Funktion mit Df = . Hat f an der Stelle xe einen
Wendepunkt mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an
der Stelle xe ein Sattelpunkt vor.
   
   
   
   
   
   
1
2
3
4
5
6
1 f
2 f
3
3 f
3
4 f
3 2
5 f
3 2
6 f
I f x 3x 2 mit D
1
II f x mit D *
x
III f x x 4 x mit D
IV f x x 8 mit D
V f x x 2x mit D
VI f x 2 x 3 x 12 mit D
  
  
  
  
  
   
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3. Berechnen Sie von den Funktionen f1, f2 und f3 die relativen Extremstellen mit
Hilfe eines geeigneten Kriteriums.
4. Gegeben sind die Funktionen f und g. Berechnen Sie die Wendepunkte mit Hilfe
eines geeigneten Kriteriums und geben Sie die Gleichungen der Wendetangenten
an.
5. Gegeben ist die Funktion
Führen Sie eine vollständige Funktionsuntersuchung nach dem Elf-Punkte-Schema
durch und fertigen Sie am Schluss eine genaue Zeichnung des Graphen der Funktion
an.