1. Gegeben ist die Funktion fk : x x4 – k x2 mit x und k > 0
a) Zeigen Sie, dass sich alle Funktionen der Funktionsschar im Ursprung berühren.
b) Untersuchen Sie die Funktionsschar fk allgemein nach dem zuvor angegebenen
Schema und skizzieren Sie die Funktionen der Schar für k = 1 und k = 2
gemeinsam in einem Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte
beschreibt.
d) Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte
beschreibt.
e) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 2 eine Nullstelle?
f) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Tiefpunkt?
g) Welche Funktion der Funktionsschar hat bei x = 3 einen Wendepunkt?
2. a) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass die Funktion fk (x) = x2 + k x an der
Stelle 4 einen einen relativen Tiefpunkt hat. Kann man auch ein k finden, so
dass fk an der Stelle 4 einen relativen Hochpunkt hat?
b) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches die x-Achse bei 3 und die
y-Achse bei – 6 schneidet und bei x = 1 und x = – 1 Extremstellen hat?
c) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung
geht und im Punkt (2|4) eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden
y = – 6 x + 2 ist.
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3. Ein Unternehmen möchte einen kleineren, noch leistungsstärkeren mp3-Player herstellen.
Die Unternehmensführung berät über den Produktionsumfang und den zu
erwartenden Gewinn und legt in der Diskussion über die Zusammenhänge mathematische
Modelle zugrunde.
Der erzielbare Marktpreis in Geldeinheiten (GE) ist von der Produktionsmenge x
in Mengeneinheiten (ME) abhängig. Je weniger Einheiten produziert werden, desto
höher ist der erzielbare Preis. Dabei folgt der Marktpreis der linearen Preisfunktion
p:
Die Gesamtkosten in GE für die Herstellung der mp3-Player hängen im Wesentlichen
von der produzierten Menge x in ME ab und werden durch die folgende Kostenfunktion
beschrieben:
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie die Erlösfunktion E an und bestimmen Sie einen maximalen, ökonomisch
sinnvollen Definitionsbereich der Funktion E.
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die angegebene Kostenfunktion keine
Extremwerte besitzt und begründen Sie aus ökonomischer Sicht, warum das
der Erfahrung aus der Praxis spricht.
c) Bestimmen Sie die Kostenkehre der Kostenfunktion, also den Wendepunkt der
Kostenfunktion und erklären Sie seine ökonomische Bedeutung.
d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G und berechnen Sie die Produktionsmenge
x, bei der der Gewinn maximal wird.
e) Zeichnen Sie die Preisfunktion p, die Erlösfunktion E, die Kostenfunktion K
und die Gewinnfunktion G in ein Koordinatensystem und erklären Sie
graphisch, wo der Gewinn maximal wird.
Bestätigt sich Ihr rechnerischer Wert aus der Teilaufgabe d) ?
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