MatA 6 Analysis Einsendeaufgabe ILS HAF Note 1

1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale.
2. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt.
  1
4 2
1
a) 5 x 3 x 2 dx

  
  2
3
2
b) 4 x x 1 d x

  
1
2
0
1
c) 2 x d x
x 4x 4
 
      

4
2
3
4 3
d) d x
x x
 
  
  
 
3
2
2
e) 2 sin x 2 d x


 
 
1
1
f )  sin2 x d x
a) f : x  x4 10 x2  9
1 5 3
b) g : x x 2 x
2
 
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3. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den die Graphen der Funktionen f und g einschließen.
(Anmerkung: Betrachten Sie hier nur die beiden „endlichen Flächen“.)
4. Gegeben ist die quadratische Funktion f : x  x2, die als Graph die Normalparabel
hat.
a) Zeigen Sie, dass sich die beiden Tangenten an den Stellen x = – 2 und x = 2 in
einem Punkt auf der y-Achse schneiden.
b) Berechnen Sie die Fläche, die die Normalparabel mit den beiden in Aufgabe a)
genannten Tangenten einschließt.
5. Gegeben ist die Funktionsschar mit k > 0.
a) Zeigen Sie, dass die Funktionen fk symmetrisch sind.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen von fk in Abhängigkeit von k.
c) Zeichnen Sie den Graphen für k = 2.
d) Für welches k ist Inhalt der Fläche, die der Graph von fk mit der x-Achse einschließt,
gerade 12 Flächeneinheiten groß?
6. Die von den Graphen der Funktionen
eingeschlossene Fläche rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
7. Gegeben ist die Funktion
a) Berechnen Sie das uneigentliche Integral .
b) Rotiert die Funktion f um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper mit einem
„bis ins Unendliche reichenden“ Volumen V.
Berechnen Sie dieses Volumen im Intervall [1 ; +  [.