1. Eine (völlig glatte) Hauswand von 6 m Länge und 2,50 m Höhe soll mit einem
Farbanstrich versehen werden, der nur dann wetterfest ist, wenn er mindestens 2
mm dick ist. Wie viel Liter Farbe werden mindestens verbraucht?
2. Die Radien r1 und r2 zweier Kreise verhalten sich wie a) 1 : 2, b) 1 : 3, c) 1 : 4.
Wie verhalten sich ihre Umfänge, wie ihre Flächeninhalte zueinander?
3. Bei einem Kegel beträgt der Grundkreisradius r = 6 cm und die Höhe h = 8 cm.
a) Wie groß ist sein Rauminhalt?
b) Bestimmen Sie den Mantelflächeninhalt.
c) Wie groß ist der Mittelpunktswinkel des Kreisausschnitts, der den abgewickelten
Kegelmantel darstellt?
4. Einem Würfel (Kantenlänge a) wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder
(Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
a) Geben Sie den Rauminhalt VT des Tetraeders
an (ausgedrückt durch a).
b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt
denken aus dem Tetraeder sowie
vier Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts
(Beispiel: die im Bild dargestellte
Pyramide S (ABC)). Wie groß ist der
Rauminhalt VP jeder dieser Pyramiden?
c) Machen Sie die Probe, ob die Summe aller
fünf Pyramiden-Rauminhalte in der Tat
gleich dem Rauminhalt des Würfels ist.
A
S
a
a
C
B
b
b
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5. Bei einer vierseitigen regelmäßigen Pyramide sollen alle Kanten die gleiche Länge
a besitzen. Legt man zwei solche Pyramiden mit den Grundflächen aneinander, so
entsteht ein regelmäßiger Körper, der Oktaeder genannt wird (s. Bild).
a) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Oktaeders?
b) Bestimmen Sie seinen Rauminhalt.
c) Vergleichen Sie den Oberflächeninhalt des
Oktaeders mit dem eines Tetraeders der gleichen
Kantenlänge a.
d) Vergleichen Sie den Oktaeder-Rauminhalt mit dem eines solchen Tetraeders.
6. Geben Sie für jeden der nachfolgenden Körper die Anzahl e der Ecken, die
Anzahl k der Kanten und die Anzahl f der Begrenzungsflächen an:
a) Würfel, b) fünfseitige Pyramide, c) Tetraeder, d) n-seitiges schiefes Prisma,
e) Oktaeder,
und prüfen Sie, für welche dieser Körper die Beziehung e – k + f = 2 richtig ist.
7. Die Cheopspyramide in Gizeh ist eine vierseitige Pyramide mit quadratischer
Grundfläche (Kantenlänge 230 m). Die vier Seitenkanten haben jeweils eine Länge
von 219 m.
a) Berechnen Sie den Rauminhalt der Pyramide.
b) Betrachten Sie zum Größenvergleich ein quaderförmiges 24-geschossiges Hochhaus
von 100 m Länge, 50 m Breite und 64,5 m Höhe, und geben Sie den
Rauminhalt eines solchen Hochhauses an.
c) a)Wie viele solcher Hochhaus-Riesen – sofern sie hohl wären – könnte man
mit all den Steinen ausfüllen, aus denen die Cheopspyramide erbaut worden
war?
8. Bei gleichem Rauminhalt besitzen verschiedene Körper unterschiedlichen Oberflächeninhalt.
(Wichtig für die Praxis: Wie muss bei vorgeschriebenem Rauminhalt
der Körper geformt werden, damit an Verpackungsmaterial – Blech usw. – gespart
werden kann?) Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
Rauminhalt Kennzeichnende Größe Oberflächeninhalt
Würfel V = 1 Liter Kantenlänge a = ... cm O = ... cm²
Tetraeder V = 1 Liter Kantenlänge a = ... cm O = ... cm²
Kugel V = 1 Liter Radius r = ... cm O = ... cm²
Zylinder
Höhe h = 2 · r
V = 1 Liter Grundkreis r = ... cm
radius
O = ... cm²
a
a
a
a
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9.
10.
11.
12.
Ein Eimer (s. Bild) soll die Form eines Kegelstumpfes
haben mit r2 = 8 cm und h = 40 cm.
Wie lang muss der obere Kreisdurchmesser sein,
damit der Eimer 10 Liter fasst?
Das nebenstehende Bild zeigt einen Zylinder mit
dem Radius r und der Höhe h, aus dem ein Kegel in
der abgebildeten Weise herausgeschnitten ist.
a) Geben Sie den Rauminhalt des „Restkörpers“
an.
b) Die Höhe h betrage nunmehr gerade r. Wie
hoch muss ein zu einer Kugel vom Radius r
gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den
gleichen Rauminhalt besitzt?
Bei einem gegebenen Kugelsektor (siehe Bild) können
d = 6 cm und r = 5 cm gemessen werden. Die
Kugelabschnittshöhe h ist einer direkten Messung
nicht zugänglich.
a) Berechnen Sie die Höhe h.
b) Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Sektors?
c) Geben Sie seinen Rauminhalt an.
d) Leiten Sie wie in a), jedoch unabhängig vom
Zahlenbeispiel, eine Formel für die Höhe h her,
wenn r1 und r bekannt sind und h wie im Bild
kleiner als r ist.
Das Bild zeigt einen aus einem Kegelteil, einem
Zylinder und einer Halbkugel zusammengeschweißten
Körper. Der Grundkreisradius r1 beträgt 15 cm,
der Zylinderdurchmesser 6 cm, und die Höhe h1 ist
gleich 16 cm. Der Körper ist hohl, nur oben
geschlossen; seine Gesamthöhe h ist 27 cm.
a) Wie viele cm² Blech wurden bei seiner Herstellung
mindestens verwendet?
Hinweis: Richten Sie Ihr Augenmerk u. a. auf
das rechtwinklige Dreieck ABC!
b) Wie groß ist sein Rauminhalt?
r2
h
r1
r
h
h
r1
d
r r
C
B
A
h
h2
h1
r1
©
2.00
2.00
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