ESA - MAÖK02N - Funktionen - Einführung in die Differenzialrechnung (Note 1, 100/100)

1. Ein Stromerzeugungsunternehmen bietet zwei Tarife an:
Tarif A: 6,20 € monatliche Grundgebühr und 0,26 € pro kWh.
Tarif B: 8,80 € monatliche Grundgebühr und 0,24 € pro kWh.
a) Stellen Sie für beide Tarife die Funktionsgleichungen auf, die die Kosten pro Monat wiedergeben.
b) Berechnen Sie die Kilowattstunden-Zahl pro Monat, ab der der Wechsel von Tarif A nach Tarif B sinnvoll ist.
Erwartet wird ein zielführender Ansatz. Ermittlung des Ergebnisses durch probeweises Einsetzen von Schätzwerten kann nicht akzeptiert werden.

2. Eine Parabel hat bei x11  1 ein Minimum. Ferner liegen die Punkte P2(2/3) und
P3(1/9) auf der Kurve.
Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.

3. Im Jahre 2000 hatte eine Stadt 45 600 Einwohner. 2010 waren es 47 938 Einwohner.
a) Stellen Sie die zugehörige natürliche Wachstumsfunktion auf, wobei sich die
Wachstumskonstante auf den Zeitraum eines Jahres beziehen soll.
b) Mit wie vielen Einwohnern ist – gleiche Wachstumsbedingungen vorausgesetzt
– im Jahre 2020 zu rechnen?

4. Gegeben sind die Funktion y  f (x)  x3  6x2
und ihre 1. Ableitung y'  f'(x)  3x2  12x
a) Bestimmen und beweisen Sie das Minimum der Kurve.
b) Bestimmen und beweisen Sie den Wendepunkt.

5. Gemäß der unten stehenden Skizze sollen aus quadratischen Pappen von 60 cm Seitenlänge offene Kartons mit quadratischer Grundfläche und möglichst großem Fassungsvermögen hergestellt werden. Die eingezeichneten Quadrate an den Ecken mit
den Seiten y werden an einer Seite eingeschnitten und liefern dann die Falze zur Befestigung der hochgefalteten Rechtecke als Seitenflächen des Kartons.
Welche Abmessungen muss ein Karton haben?
Bitte beachten Sie:
Arbeiten Sie deutlich die Zielfunktion und die Nebenbedingung heraus.
Die Skizze dient nur der Veranschaulichung der Fragestellung. Die Maße der Kanten
des größtmöglichen Kartons können daraus nicht abgelesen werden.

6. Gegeben ist die Funktion y  f (x) 
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und untersuchen Sie das Verhalten des
Graphen bei Annäherung an die Ausnahmestelle.
b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente bei x1  1.